Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm (hoặc nhiều điểm) thẳng hàng, ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì chúng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó thì chúng thẳng hàng.

bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, SC.

1. Xác định giao điểm I = AN (SBD)

2. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)

3. Chứng minh I, J, B thẳng hàng

Giải pháp

1. Xác định giao điểm I = AN (SBD)

• Chọn mp phụ (SAC) AN
• Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)

(SAC) (SBD) = VẬY

• Trong (SAC), goi I = AN SO, I AN

TÔI NHƯ VẬY (SBD) → Tôi (SBD)

Vậy: I = AN (SBD)

2. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)

• Chọn mp phụ (SMC) MN
• Tìm giao tuyến của (SMC) và (SBD)

S là điểm chung của (SMC) và (SBD)

Trong (ABCD), gọi E = MC BD

→ (SAC) (SBD) = ĐN

• Trong (SMC), goi J = MN ∩ SE, J∈ MN

J∈ SE mà SE (SBD) → J ∈ (SBD)

Vậy J = MN (SBD)

3. Chứng minh I, J, B thẳng hàng

Ta có: B là điểm chung của (ANB) và (SBD)

• TÔI NHƯ VẬY (SBD) → Tôi (SBD)
• I AN mà AN∈ (ANB) → I ∈ (ANB)

→ I là điểm chung của (ANB) và (SBD)

• J SE mà SE (SBD) → J (SBD)
• J MN mà MN (ANB) → J ∈ (ANB)

→ J là điểm chung của (ANB) và (SBD)

Vậy: B, I, J thẳng hàng

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M.

1. Tìm giao điểm K = IJ và (SAC)

2. Xác định giao điểm L = DJ và (SAC)

3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng

Giải pháp

1. Tìm giao điểm K = IJ (SAC)

• Chọn mp phụ (SIB) IJ
• Tìm giao tuyến của (SIB) và (SAC)

S là điểm chung của (SIB) và (SAC)

Trong (ABCD), gọi E = AC BI

→ (SIB) (SAC) = ĐN

Trong (SIB), gọi K = IJ SE

K IJ

K SE mà SE⊂ (SAC) → K (SAC)

Vậy: K = IJ (SAC)

2. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)

• Chọn sub mp (SBD) DJ
• Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)

S là điểm chung của (SBD) và (SAC)

Trong (ABCD), goi F = AC BD

→ (SBD) (SAC) = SF

• Trong (SBD), gọi L = DJ SF

L DJ

L SF trong đó SF (SAC) → L (SAC)

Vậy: L = DJ ∩ (SAC)

3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng

Ta có: A là điểm chung của (SAC) và (AJO)

• K IJ nhưng IJ (AJO) → K ∈ (AJO)
• K SE mà SE⊂ (SAC) → K (SAC)

→ K là điểm chung của (SAC) và (AJO)

• L DJ mà DJ (AJO) → L ∈ (AJO)
• L SF trong đó SF (SAC) → L (SAC)

→ L là điểm chung của (SAC) và (AJO)

• M JO mà JO (AJO) → M (AJO)
• M SC mà SC(SAC) → M(SAC)

→ M là điểm chung của (SAC) và (AJO)

Vậy: A, K, L, M thẳng hàng

Bài 3: Cho L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.

1. Tìm giao tuyến của mp(LMN) và (ABC)

2. Tìm giao điểm I = BC ∩ (LMN) và J = SC ∩ (LMN)

3. Chứng minh M, I, J thẳng hàng

Giải pháp

1. Tìm giao tuyến của mp(LMN) và (ABC)

Ta có: N là điểm chung của (LMN) và (ABC)

Trong (SAB), LM không song song với AB

Gọi K = AB LM

K LM mà LM (LMN) → K (LMN)

K AB mà AB(ABC) → K(ABC)

2. Tìm giao điểm I = BC (LMN)

• Chọn mp phụ (ABC) BC
• Tìm giao tuyến của (ABC) và (LMN)

→ (ABC) (LMN) = NK

• Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC

tôi trước công nguyên

I NK nhưng NK (LMN) → I ∈ (LMN)

Vậy: I = BC (LMN)

Tìm giao điểm J = SC (LMN)

• Trong (SAC), LN không song song với SC

gọi J = LNSC

J SC

J∈ LN trong đó LN(LMN) → J(LMN)

Vậy: J = SC (LMN)

3. Chứng minh M, I, J thẳng hàng

Ta có: M, I, J là điểm chung của (LMN) và (SBC)

Vậy: M, I, J thẳng hàng

Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD.

1. Tìm giao điểm I = BN (SAC)

2. Tìm giao điểm J = MN (SAC)

3. Chứng minh C, I, J thẳng hàng

Giải pháp

1. Tìm giao điểm I = BN (SAC)

• Chọn sub mp(SBD)BN
• Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)

Trong (ABCD), gọi O = AC BD

→ (SBD) (SAC) = SO

• Trong (SBD), goi I = BN SO

tôi BN

I SO mà SO (SAC) → I (SAC)

Vậy: I = BN (SAC)

2. Tìm giao điểm J = MN ∩ (SAC):

• Chọn mp phụ(SMD)MN
• Tìm giao tuyến của (SMD) và (SAC)

Trong (ABCD), goi K = AC DM

→ (SMD) (SAC) = SK

• Trong (SMD), goi J = MN SK

J MN

J SK mà SK (SAC) → J (SAC)

Vậy: J = MN (SAC)

3. Chứng minh C, I, J thẳng hàng:

Ta có: C, I, J là điểm chung của (BCN) và (SAC)

Vậy: C, I, J thẳng hàng

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a) Tìm giao điểm I của BN với (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).

b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

Giải thích chi tiết

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong mp(SBD), BN cắt SO tại điểm I .

Cho mp(ABCD), DM cắt AC tại E.

Trong mp(SDM), SE∩MN = J.

b) Dễ thấy 3 điểm S, K, J cùng thuộc 2 mặt phẳng (SAC) và (SDM) nên 3 điểm S, K, J thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng hoặc chúng thẳng hàng.

c) Trong mp(SAC), CI cắt SA tại O.

Khi đó thiết diện tạo bởi mp(BNC) với tứ giác BCNP.

bài tập ứng dụng

Bài tập 1: Cho tứ diện đều SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD, SB

một). Tìm giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)

b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng

Đăng bởi: Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Chuyên mục: toán lớp 11, toán lớp 11

Bạn thấy bài Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11 có giải đúng vấn đề mà bạn tìm hiểu không?, nếu chưa hãy góp ý thêm cho bài viết nhé. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11 bên dưới để https://vietabinhdinh.edu.vn/ chỉnh sửa & hoàn thiện nội dung tốt hơn phục vụ bạn đọc! Cảm ơn bạn đã ghé thăm website của trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Nhớ để nguồn bài viết này: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11 của website vietabinhdinh.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục